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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•泉港区质检）如图，A、B的坐标分别为（8，4），（0，4）．点C从原点O出发以每秒1单位的速度沿着x轴的正方向运动，设运动时间为t（0＜t＜5）．点D在x轴上，坐标为（t+3，0），过点D作x轴的垂线交AB于E点，交OA于G点，连接CE交OA于点F．
    （1）填空：CD=
    3
    3
    ，CE=
    5
    5
    ，AE=
    5-t
    5-t
     （用含t的代数式表示）；
    （2）当△EFG的面积为
    12
    5
    时，点G恰好在函数y=
    k
    x
    第一象限的图象上．试求出函数y=
    k
    x
    的解析式；
    （3）设点Q的坐标为（0，2t），点P在（2）中的函数y=
    k
    x
    的图象上，是否存在以A、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点C、P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由OC=t，OD=t+3，即可求出CD的长；先由矩形的性质得出DE=4，然后在直角△CDE中，运用勾股定理即可求出CE的长；先由矩形的性质得出BE=t+3，再由AB=8即可求出AE的长；
    （2）过点F作FH⊥DE于H，则△EFG的面积=
    1
    2
    EG•FH．先运用待定系数法求出直线OA的解析式，再将G点的横坐标（与D点的横坐标相等）代入，得到G点的纵坐标，求出EG的长；先由AE∥OC，得出△AEF∽△OCF，根据相似三角形对应边成比例列出等式AE：OC=EF：CF，得出EF=5-t，再由正弦函数的定义得出FH=EF•sin∠CED=
    3(5-t)
    5
    ，然后根据△EFG的面积为
    12
    5
    列出关于t的方程，解方程求出t的值，得到G点的坐标为（4，2），则运用待定系数法即可求出过G点的反比例函数的解析式；
    （3）当以A、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形时，首先根据这四个点的位置及0＜t＜5，判断平行四边形可能是?APCQ或?APQC，再由平行四边形的对角线互相平分的性质得出两对角线的中点重合．设P（x，
    8
    x
    ），根据中点坐标公式列出关于x、t的方程组，解方程组即可．
    解答：解：（1）∵由题意，可知OC=t，OD=t+3，
    ∴CD=OD-OC=t+3-t=3；
    在直角△CDE中，∵∠CDE=90°，CD=3，DE=OB=4，
    ∴CE=
    		CD2+DE2
    =5；
    ∵AB=8，BE=OD=t+3，
    ∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t．
    故答案为3，5，5-t；

    （2）如图，过点F作FH⊥DE于H，则△EFG的面积=
    1
    2
    EG•FH．
    ∵O（0，0），A（8，4），
    ∴直线OA的解析式为y=
    1
    2
    x，
    当x=t+3时，y=
    t+3
    2
    ，∴G（t+3，
    t+3
    2
    ），
    ∴EG=DE-DG=4-
    t+3
    2
    =
    5-t
    2
    ．
    ∵AE∥OC，
    ∴△AEF∽△OCF，
    ∴AE：OC=EF：CF，即（5-t）：t=EF：（5-EF），
    解得EF=5-t，
    ∴FH=EF•sin∠CED=（5-t）×
    3
    5
    =
    3(5-t)
    5
    ，
    ∴△EFG的面积=
    1
    2
    EG•FH=
    1
    2
    ×
    5-t
    2
    ×
    3(5-t)
    5
    =
    3(5-t)2
    20
    ，
    ∵△EFG的面积为
    12
    5
    ，
    ∴
    3(5-t)2
    20
    =
    12
    5
    ，
    解得t=1或9，
    ∵0＜t＜5，
    ∴t=1，
    ∴G（4，2）．
    ∵点G在函数y=
    k
    x
    第一象限的图象上，
    ∴k=4×2=8．
    故所求函数的解析式为y=
    8
    x
    ；

    （3）当点Q的坐标为（0，2t），点P在（2）中的函数y=
    k
    x
    的图象上时，存在以A、C、Q、P为顶点的平行四边形，理由如下：
    分两种情况：设P（x，
    8
    x
    ）．
    ①当四边形APCQ是平行四边形时，则AC与PQ互相平分，即AC的中点与PQ的中点重合．
    ∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
    ∴
    8+t
    2
    =
    x
    2
    4
    2
    =
    8
    x
    +2t
    2
    ，
    解得
    x=5+
    		21
    t=
    		21
    -3
    ，
    x=5-
    		21
    t=-3-
    		21
    （舍去），
    ∴C（
    		21
    -3，0），P（5+
    		21
    ，10-2
    		21
    ）．
    ②当四边形APQC是平行四边形时，则AQ与CP互相平分，即AQ的中点与CP的中点重合．
    ∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
    ∴
    8
    2
    =
    t+x
    2
    4+2t
    2
    =
    8
    x
    2
    ，
    解得
    x=5+
    		21
    t=3-
    		21
    （舍去），
    x=5-
    		21
    t=3+
    		21
    （舍去）．
    综上可知，所求C点的坐标为（
    		21
    -3，0），P点的坐标为（5+
    		21
    ，10-2
    		21
    ）．
    点评：本题考查了反比例函数的综合题，其中涉及到的知识点有矩形的性质、函数解析式的求法、三角形的面积、平行四边形的性质等，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
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    4
    4
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    		2
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    		2
    +3
    		2
    =
    8
    		2
    8
    		2
    ．
    （2）如图，在△ABC中，BC=6，则中位线DE=
    3
    3
    ．

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