[题目]如图1.将三角板放在正方形上.使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合.三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．(1)观察猜想:线段与线段的数量关系是 ,(2)探究证明:如图2.移动三角板.使顶点始终在正方形的对角线上.其他条件不变.(1)中的结论是否仍然成立?若成立.请给予证明:若不成立．请说明理由:(3)拓展延伸:如图3.将(2)中的“正� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．

（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是_____；

（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，请探究线段与线段之间存在怎样的数量关系？（用含、的代数式表示）

【答案】（1）EF=EG （2）见解析（3）

【解析】

（1）因为四边形ABCD是正方形，可得∠BED＝∠DEF＋∠BEF＝90°，根据题意可得，∠GEF＝∠GEB＋∠BEF＝90°，继而可证∴∠GEB＝∠DEF，然后利用ASA判定Rt△EGB≌Rt△EFD，最后根据全等三角形对应边相等即可求解．

（2）过点E分别作EH⊥BC,EI⊥CD，垂足分别为H，I，则四边形EHCI是矩形, 可得∠FEI+∠HEF=∠GEH+∠HEF=90° ，即∠FEI=∠GEH，根据正方形的性质，得出CE平分∠BCD, 可证得EI=EH，利用ASA可判定△FEI≌△GEH，继而得出结论．

（3）过点E分别作EM⊥BC,EN⊥CD，垂足分别为M,N，同（2）可知，∠FEN=∠GEM

由长方形性质得：∠D=∠ENC=90°,进而可得EN∥AD,EM∥AB，由相似三角形的判定可得△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB，再由相似三角形对应边成比例，等量代换可得，继而得，根据相似三角形的判定可得△FEN∽△GEM，继而求解．

证明：（1）EF=EG

∵四边形ABCD是正方形

∴ED＝EB，∠D＝∠GBE

∵∠GEF＝90°

∴∠GEB＋∠BEF＝90°

∵∠BED＝90°,

∴∠DEF＋∠BEF＝90°

∴∠GEB＝∠DEF

在Rt△EGB和Rt△EFD中，

∴Rt△EGB≌Rt△EFD（ASA）

∴EF＝EG．

（2）成立，证明如下：

如图，过点E分别作EH⊥BC,EI⊥CD，垂足分别为H，I，则四边形EHCI是矩形

∴∠HEI=90°

∵∠GEF=90°

∴∠FEI+∠HEF=90°,∠GEH+∠HEF=90°

∴∠FEI=∠GEH

由正方形对角线的性质得，AC为∠BCD的角平分线，则EI=EH

在△FEI和△GEH中，

∴△FEI≌△GEH（ASA）

∴EF=EG；

（3）如图，过点E分别作EM⊥BC,EN⊥CD，垂足分别为M,N

同（2）可知，∠FEN=∠GEM

由长方形性质得：∠D=∠ENC=90°,

∠ABC=∠EMC=90°,AD=BC=b.

∴EN∥AD,EM∥AB.

∴△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB

∴,，

∴,即

∵∠FEN=∠GEM,∠FNE=∠GME=90°

∴△FEN∽△GEM

∴．

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