Question

如图，C在射线BM上，在平行四边形ABCD中，AC=BD=10，tan∠CAD=

3

4

，对角线AC与BD相交于O点．在射线BM上截取一点E，使OC=CE，连接OE，与边CD相交于点F．
（1）求CF的长；
（2）在没有“OC=CE”的条件下，连接DE、AE，AE与对角线BD相交于P点，若△ADE为等腰三角形，请求出DP的长．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件求得CD=6，讨论当E点在BC的延长线上时，CF的长，以及当E点在边BC上时，易证F在CD的延长线上，与题意不符，
（2）根据题意分情况进行解答，①交于BC的延长线上，②交于边BC，即可得出DP的长．

解答：解：（1）∵ABCD为平行四边形且AC=BD，
∴ABCD为矩形，
∴∠ACD=90°
在RT△CAD中，tan∠CAD=

CD

AD

=

3

4

，
设CD=3k，AD=4k，
∴（3k）²+（4k）²=10²，
解得k=2，
∴CD=3k=6，
（Ⅰ）当E点在BC的延长线上时，
过O作OG⊥BC于G，
∴

OG

CD

=

BO

BD

=

1

2

，
∴OG=3
同理可得：

BG

GC

=

BO

OD

=

1

1

，即BG=GC=4，
又∵OC=CE=

1

2

AC=5，
∴

CF

OG

=

CE

EG

，
∴

CF

3

=

5

5+4

解得CF=

5

3

，
（Ⅱ）当E点在边BC上时，易证F在CD的延长线上，与题意不符，舍去．

（2）若△ADE为等腰三角形，
（Ⅰ）AD=ED=8（交于BC的延长线上），
由勾股定理可得：CE=

DE2-DC2

=

82-62

=2

7

，
∵AD∥BE，
∴

BE

AD

=

BP

PD

=

8+2 7

8

=

4+ 7

4

，
设PD=4a，则BP=4a+

7

a，
∴BP+PD=BD=10=4a+

7

a+4a，
解得a=

10(8- 7 )

57

，
∴PD=4a=

40(8- 7 )

57

=

320-40 7

57

，
（Ⅱ）AD=ED=8（交于边BC），
同理可得：

BP

PD

=

BE

AD

=

8-2 7

8

=

4- 7

4

，
∴BP+PD=BD=10=4a-

7

a+4a，
解得a=

10(8+ 7 )

57

，
∴PD=4a=

40(8+ 7 )

57

=

320+40 7

57

，
（Ⅲ）AE=ED，
易证：△AEB≌△DEC，
∴BE=EC=

1

2

BC=4，
∴同理可得：

BP

BD

=

1

3

，则

BP

10

=

1

3

，
∴BP=

10

3

，PD=

20

3

，
（Ⅳ）AE=AD=8，
∴BE=

82-62

=2

7

∴同理可得：

BE

AD

= 

7

4

=

BP

PD

，

4a+ 7 a=10 a= 10(4- 7 ) 9

∴PD=4a=

160-40 7

9

，
∴综上所述，若△ADE为等腰三角形，PD=

320-40 7

57

或

320+40 7

57

或

20

3

或

160-40 7

9

．

点评：本题主要考查了平行线分线断成比例，全等三角形的判定，勾股定理以及矩形的判定与性质，比较综合，难度适中．