Question

如图所示，直线y=kx+6与函数y=

m

x

（x＞0，m＞0）的图象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且与x轴、y轴分别交于D、C两点．又AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．已知△COD的面积是△AOB面积的

3

倍．
（1）求y₁-y₂的值．
（2）求k与m之间的函数关系式，并画出该函数图象的草图．
（3）是否存在实数k和m，使梯形AEFB的面积为6？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在函数y=

m

x

（x＞0，m＞0）的图象上，且x₁＜x₂，得y₁＞y₂＞0；再根据S_△COD=

3

S_△AOB利用三角形的面积公式得到OC=

3

（y₁-y₂），求出C点坐标，即可得到y₁-y₂=2

3

；
（2）由（1）知（y₁-y₂）²=12，变形为（y₁+y₂）²-4y₁y₂=12①，由y=kx+6与y=

m

x

消去x得关于y的方程y²-6y-km=0②，利用根与系数的关系得到y₁+y₂=6，y₁y₂=-km，然后代入①，得k与m之间的函数关系式；
（3）把点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入y=kx+6上，有x₁=

1

k

（y₁-6），x₂=

1

k

（y₂-6），得到EF=x₂-x₁=-

1

k

（y₁-y₂），利用S_梯形AEFB=

1

2

•（AE+BF）•EF=

1

2

•（y₁+y₂）•[-

1

k

（y₁-y₂）]=-

1

2k

（y₁-y₂）（y₁+y₂），然后把y₁-y₂=2

3

，y₁+y₂=6代入即可得到k的值，再把k的值代入（2）的结论中，可求出m的值．

解答：解：（1）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在函数y=

m

x

（x＞0，m＞0）的图象上，且x₁＜x₂，
∴y₁＞y₂＞0，
而S_△COD=

3

S_△AOB，
∴S_△COD=

3

（S_△AOD-S_△BOD），
∴

1

2

•OC•OD=

3

（

1

2

•OD•y₁-

1

2

•OD•y₂），
∴OC=

3

（y₁-y₂），
在y=kx+6中令x=0，得y=6，即C点坐标为（0，6），
∴OC=6，
∴y₁-y₂=2

3

；

（2）由（1）知（y₁-y₂）²=12，
即（y₁+y₂）²-4y₁y₂=12①，
由y=

m

x

可得x=

m

y

，代入y=kx+6并整理得：y²-6y-km=0②，
依题意，y₁，y₂是此方程的两根，
∴y₁+y₂=6，y₁y₂=-km，
代入①得：6²-4×（-km）=12，解得k=-

6

m

，
由图知，k＜0，而m＞0
又方程②的判别式△=36+4km=12＞0，
∴所求的函数关系式为k=-

6

m

（m＞0），
其草图如右图所示；

（3）存在．理由如下：
设存在k，m使得S_梯形AEFB=6，
∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直线y=kx+6上，所以有x₁=

1

k

（y₁-6），x₂=

1

k

（y₂-6），
∴EF=x₂-x₁=-

1

k

（y₁-y₂），
∴S_梯形AEFB=

1

2

•（AE+BF）•EF
=

1

2

•（y₁+y₂）•[-

1

k

（y₁-y₂）]
=-

1

2k

（y₁-y₂）（y₁+y₂），
由（1）有y₁-y₂=2

3

，y₁+y₂=6代入上式得：S_梯形AEFB=-

1

2k

×6×2

3

=6，
∴k=-

3

，代入k=-

6

m

解得m=2

3

．
故存在k=-

3

，m=2

3

满足条件．

点评：本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了利用坐标表示线段的长和一元二次方程根与系数的关系以及利用规则的几何图形的面积的和差计算不规则的图形面积．