Question

已知二次函数图象经过两点A（1，0）、B（5，0），且函数有最小值-1．直线y=m（x-3）与二次函数图象交于C、D两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：以CD为直径的圆与直线y=-2相切；
（3）设以CD为直径的圆与直线y=-2的切点为E，过点C、D分别作直线y=-2的垂线，垂足为F、G、S₁、S₂、S分别表示△CEF、△DEG、△CDE的面积．证明：S=S₁+S₂．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得二次函数的对称轴为x=（1+5）÷2=3，所以此函数的顶点坐标为（3，-1），利用顶点式即可求得；
（2）此题要借助于根与系数的关系，根据题意可得点C，D是方程组

y=m(x-3) y= 1 4 (x-3)2-1

的解，由勾股定理得CD的长，化简即可证得；
（3）因为直线y=-2与以CD为直径的圆相切，又切点为E．知，Rt△CED∽Rt△CEF，Rt△DCE∽Rt△DEG，求出S₁与S₂的值即可证得．

解答：（1）解：二次函数的解析式为y=

1

4

（x-3）²-1

（2）证明：（如图）设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD的中点为M（x₀，y₀）
即M点的坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)
联立方程组

y=m(x-3) y= 1 4 (x-3)2-1

得x²-（6+4m）x+5+12m=O
由根与系数关系，得
x₁+x₂=6+4m，x₁•x₂=5+12m．①
过C点作DG的垂线，垂足为H，则H点坐标为（x₂，y₁）
在Rt△CHD中．由勾股定理得
CD=

CH2+HD2

=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

∵y₂-y₁=m（x₂-3）-m（x₁-3）=m（x₂-x₁）
∴CD=

(x2-x1)2+m2(x2-x1)2

=

1+m2

(x2-x1)2-4x1x2

将①代入上式得
CD=

1+m2

(6+4m)2-4(5+12m)

=4（m²+1）
又M到直线y=-2的距离为a=|y₀-（-2）|=y₀+2
=2+

1

2

（y₁+y₂）=2+

1

2

[m（x₁-3）+m（x₂-3）]
=2+

1

2

（x₁+x₂）m-3m
=2+2m²=

1

2

CD
CD为直径的圆与直线y=-2相切．（8分）

（3）证明：由（2）知直线y=-2与以CD为直径的圆相切，又切点为E．知，
Rt△CED∽Rt△CEF，Rt△DCE∽Rt△DEG，
因此，S₁=(

CE

CD

)2S，S2=(

DE

CD

)2S
S₁+S₂=[(

CE

CD

)2+(

DE

CD

)2]S
由勾股定理得(

CE

CD

)2+(

DE

CD

)2=1，S₁+S₂=S．

点评：此题考查了二次函数与一次函数以及圆的综合知识，解题时要注意数形结合思想的应用．