Question

如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y
（l）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，求证：△ADB∽△EAC；
（2）在（1）的条件下，试确定y与x之间的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB==75°．
∵∠ABC=∠D+∠DAB=75°
∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=105°-30°=75°
∴∠D=∠CAE．
同理：∠DAB=∠E．
∴△ADB∽△EAC．

（2）解：∵△ADB∽△EAC，
∴，
∴，
∴y=．
分析：（1）根据等腰三角形中，等边对等角可得：∠ABC=75°，根据三角形的外角的性质可得：∠ABC=∠D+∠DAB=75°，而∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=105°-30°=75°，即可得到∠D=∠CAE．同理：∠DAB=∠E，则根据有两个角对应相等的两个三角形相似，即可证得；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得函数解析式．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的外角的性质，关键是证得∠D=∠CAE．