Question

（2012•北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=

2

3

，求BF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．
（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=

2

3

，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．

解答：证明：（1）连接OC，

∵OD⊥BC，
∴∠COF=∠BOF，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵

OC=OB ∠COE=∠BOE OE=OE

，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
∵OB是⊙O半径，
∴BE与⊙O相切．

（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，

∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴

OD

OB

=

OH

OD

=

DH

BD

又∵sin∠ABC=

2

3

，OB=9，
∴OD=6，
易得∠ABC=∠ODH，
∴sin∠ODH=

2

3

，即

OH

OD

=

2

3

，
∴OH=4，
∴DH=

OD2-OH2

=2

5

，
又∵△ADH∽△AFB，
∴

AH

AB

=

DH

FB

，

13

18

=

2 5

FB

，
∴FB=

36 5

13

．

点评：此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用．