Question

已知如图（1），⊙O的直径AB=12cm，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．
（1）设AD=m，BC=n，若m、n是方程2x²-30x+a=0的两个根，求m、n．
（2）如图（2），连接OD、BE，求证：OD∥BE．

Answer 1

分析：（1）如图（1），通过作辅助线DF（过D作DF⊥CB，交CB于点F）构建矩形ADFB．根据切线长定理得到BF=AD=m，CE=CB=m，则DC=DE+CE=n+m，CF=CB-FB=n-m；然后在直角△DFC中根据勾股定理求得
CD²=DF²+CF²，由此可以求得mn=36；最后由根与系数的关系求得a的值，通过解一元二次方程即可求得m、n的值；
（2）连接OE，由于AM、DE是⊙O的切线，∠OAD=∠OED=90°，那么DA=DE，而OD=OD，于是可证△AOD≌△EOD，从而有∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，根据圆周角定理有∠ABE=

1

2

∠AOE，那么同位角∠AOD=∠ABE，则OD∥BE．

解答：解：（1）如图（1），过D作DF⊥CB，交CB于点F．
∵DA与DC都为⊙O的切线，
∴DA=DE，
又CB与CE都为⊙O的切线，
∴CB=CE，
又∠DAB=∠ABF=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD为矩形，
∴DA=FB，DF=AB；
∵AD=m，BC=n，AB=12cm，
∴CD=CE+ED=DA+CB=m+n，DF=AB=12cm，CF=CB-FB=n-m，
在Rt△DFC中，根据勾股定理得：CD²=DF²+CF²，
即（m+n）²=12²+（n-m）²，
化简得：mn=36；
∵m、n是方程2x²-30x+a=0的两个根，
∴根据韦达定理知，mn=

a

2

，即a=72；
∴原方程为x²-15x+36=0，解得，

m=3 n=12

或

m=12 n=3

；
∵m＜n，
∴

m=3 n=12

；

（2）证明：如图（2），连接OE．
∵AM、DE是⊙O的切线，
∴DA=DE，∠OAD=∠OED=90°，
又∵OD=OD，
在△AOD和△EOD中，

DA=DE ∠OAD=∠OED=90° OD=OD

，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE（全等三角形的对应角相等），
∵∠ABE=

1

2

∠AOE（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
∴∠AOD=∠ABE（等量代换），
∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．

点评：本题考查了圆的综合题．此题综合运用了切线定理、韦达定理、解一元二次方程、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识点．