Question

【题目】如图1，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．

（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接BC，当t= 时，求△BCP的面积；
（3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c中得：

解得 ，

∴二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式为：y=﹣x2+ x+4

（2）

解：如图1，

当t= 时，AP=2t，

∵PC∥x轴，

∴ ，

∴ ，

∴OD= = × = ，

当y= 时， =﹣x2+ x+4，

3x2﹣5x﹣8=0，

x1=﹣1，x2= ，

∴C（﹣1， ），

由 得 ，

则PD=2，

∴S△BCP= ×PC×BD= ×3× =4

（3）

解：如图3，

当点E在AB上时，

由（2）得OD=QM=ME= ，

∴EQ= ，

由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

同理得：PD=3﹣ ，

∴当0≤t≤ 时，S=S△PDQ= ×PD×MQ= ×（3﹣ ）× ，

S=﹣ t2+ t；

当 ＜t≤2.5时，

如图4，

P′D′=3﹣ ，

点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t， ），

∵AB的解析式为：y=﹣ x+4，

D′E的解析式为：y= x+ t，

则交点N（ ， ），

∴S=S△P′D′N= ×P′D′×FN= ×（3﹣ ）（ ﹣ ），

∴S= t2﹣ t+ ．

【解析】（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；（2）如图1，要想求△BCP的面积，必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用点P和点C的横坐标求出，要注意符号；（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当0≤t≤ 时，如图2所示，重合部分的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB中时，当 ＜t≤2.5时，如图4所示，△PDN就是重合部分的面积S．本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并能利用方程组求出两图象的交点，把方程和函数有机地结合在一起，使函数问题简单化；同时考查了分类讨论的思想，这一思想在二次函数中经常运用，要熟练掌握；本题还与相似结合，利用相似三角形对应边的比来表示线段的长．