Question

如图，二次函数y=-x²+mx+n的图象与y轴交于点N，其顶点M在直线y=-x上运动，O为坐标原点．

（1）当m=-2时，求点N的坐标；
（2）当△MON为直角三角形时，求m、n的值；
（3）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，2），B（-4，-3），C（-2，2），当抛物线y=-x²+mx+n在对称轴左侧的部分与△ABC的三边有公共点时，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵y=-（x-m）²+m²+n，
∴抛物线顶点M坐标为：（m，m²+n），
∵顶点在直线y=-x上，
∴m²+n=-m，
当m=-2时，n=1，
∴点N的坐标为：（0，1）；

（2）若点M在第二象限时，△MON不可能为直角三角形，当点M在坐标原点时，
△MON不存在，若点M在第四象限，当△MON为直角三角形时，显然只有∠OMN=90°，
如图1，过点M在x轴的垂线，垂足为H，
∵∠HOM+∠MON=90°，
∠MON+∠ONM=90°，
∴∠HOM=∠ONM，
∵∠OHM=∠OMN=90°，
∴△OMN∽△MHO，
∴=，
∴OM²=MH•ON，
设M（m，-m），则MH=m，OM²=m²，而ON=-n，
∴m²=m×（-n），
即n=-m①，
又m²+n=-m②，
由①②解得：
m=，n=-；

（3）由（1）可知，y=-x²+mx-m²-m，
当点A（-4，2）在该抛物线上时，
-×（-4）²+4m-m²-m=2，
整理得出：m²+11m+20=0，
解得：m=，
∵在对称轴的左侧，∴m只能取，
∵B（-4，-3），C（-2，2），
设直线BC的解析式为y=ax+b，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x+7，
代入抛物线解析式得：x²+（5-2m）x+m²+3m+14=0，
令△=0得，（5-2m）²-4（m²+3m+14）=0，
解得：m=-，
∴≤m≤-．
分析：（1）利用顶点式得出M点坐标，再利用顶点在直线y=-x上，得出m与n的关系，进而得出n的值，即可得出N点坐标；
（2）若点M在第二象限时，△MON不可能为直角三角形，当点M在坐标原点时，△MON不存在，若点M在第四象限，当△MON为直角三角形时，显然只有∠OMN=90°，再利用△OMN∽△MHO，得出OM²=MH•ON，设M（m，-m），则MH=m，OM²=m²，而ON=-n，得出m²=m×（-n），又m²+n=-m求出n，m的值即可；
（3）由（1）可知，y=-x²+mx-m²-m，当点A（-4，2）在该抛物线上时，-×（-4）²+4m-m²-m=2，求出m的值，再求出直线BC的解析式为：y=x+7，代入抛物线解析式得：x²+（5-2m）x+m²+3m+14=0，令△=0得m的值，进而得出m的取值范围．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式和根的判别式等知识，熟练利用数形结合得出m的取值范围是解题关键．