Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，以AB为直径的圆分别交BC，AC于D，E两点，AD交BE于F点，现给出下列命题：①DE+BD=AD；②△ABE与△ABD的面积差为ED2 ， 则（　　）

A.①是假命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是假命题 D.①是真命题，②是真命题

Answer 1

【答案】D

【解析】

①过点E作⊥HE交AD于H，构造等腰直角三角形，根据圆周角定理，得到角相等，证明△AEH≌△BDE，得到AH=BD，由DH=DE，由等量代换得到DE+BD=AD；

②由①证得：DE+BD=AD，两边平方得：2DE2=（AD-BD）2=AD2+BD2-2ADBD=AB2-2ADBD，等式的两边乘以得：DE2=AB2-ADBD=S△ABE-S△ABD，得到②是真命题．

①过点E作⊥HE交AD于H，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，∠ADB=90°

∵∠EAB=45°，∴∠EBA=45°，

∴∠EDA=45°，

∴∠EHD=∠EDA=45°，

∴∠AHE=∠EDB=135°，

在△AEH与△BDE中，

，

∴△AEH≌△BDE，

∴AH=BD，

∵DH=DE，

∴AD=AH+DH=BD+DE，

∴①是真命题；

②∵S△ABE=AEBE=AB2，S△ABD=ADBD，

由①证得：DE+BD=AD，

∴DE=AD-BD，

∴2DE2=（AD-BD）2=AD2+BD2-2ADBD=AB2-2ADBD

∴DE2=AB2-ADBD=S△ABE-S△ABD，

∴②是真命题，

故选D．