Question

如图．直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上．OA∥BC，OA=4，OC=，
∠OAB=45°，D是BC上一点，CD=．E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y．
（1）AB=________，BC=________，∠DOE=________；
（2）证明△ODE∽△AEF，并确定y与x之间的函数关系；
（3）当AF=EF时，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF，求△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积．

Answer 1

解：（1）过B作BM⊥OA于M，
则四边形CBMO是矩形，
∵∠BAO=45°，
∴BC=OM，OC=BM=MA=，
由勾股定理得：AB==3，
BC=OA-AM=，
∵CD=OC，
∴∠COD=∠CDO=45°，
∴∠DOE=45°，
故答案为：3，，45°．

（2）证明：∵∠BAO=∠DOE=45°，
∵∠ODE=∠DEA-45°，∠FEA=∠DEA-45°，
∴∠ODE=∠FEA，
∴△ODE∽△AEF，
∴=，
即=，
∴y=-x²+x，
即y与x的函数关系式是y=-x²+x．

（3）当EF=AF时，如图，∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，D在A'E上，A'E⊥OA，B在A'F上，A'F⊥EF，
∴△A'EF与五边形OEBC重叠部分的面积为四边形EFBD的面积，
∵AE=OA-OE=OA-CD=4-=，
∴AF=EF=÷=，
∴S_△AEF=EF•AF=×=，
∴S_梯形AEDB=（BD+AE）•DE=×（+）×=，
∴S_{四边形BDEF}=S_梯形AEDB-S_△AEF=-=．
分析：（1）过B作BM⊥OA于M，证四边形CBMO是矩形，推出CB=OM，OC=BM=AM，即可求出答案；
（2）证△ODE∽△AEF，根据相似三角形的性质得到比例式，即可求出答案；
（3）若AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得．
点评：本题主要考查对直角梯形，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，三角形的面积，坐标与图形性质，翻折变换等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算和推理是解此题的关键．