Question

如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②；③△ODE∽△ADO；④．其中一定正确的结论有（ ）
个

A．1个        B．2个       C．3个       D．4个

Answer 1

B

①∵AB是半圆直径，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，∴①正确．
②过点E作EF⊥AC，∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，∴CE＞OE，∴②错误．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DOE≠∠DAO，∴不能证明△ODE和△ADO相似，∴③错误；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=×45°=22.5°，∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，∴OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=67.5°∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，∴△CED∽△COD，∴，
∴CD²=OD•CE=AB•CE，∴2CD²=CE•AB．∴④正确．综上所述，只有①④正确．故选B．