Question

19．如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF．
（1）连接DE，作FH⊥BC于点H，求证：△DPE≌△FDH；
（2）当点P从点E运动到点A时，求点F运动的路径．

Answer 1

分析 （1）如图，根据等边三角形的性质得∠B=60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′=$\frac{1}{2}$BD=2，则点E′与点E重合，所以∠BDE=30°，DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到FH=DE=2$\sqrt{3}$，于是可判断点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2$\sqrt{3}$，当点P在E点时，作等边三角形DEF₁，则DF₁⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF₂，作F₂Q⊥BC于Q，则△DF₂Q≌△ADE，所以DQ=AE=8，所以F₁F₂=DQ=8，于是得到当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．

解答 解：如图，∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，则BE′=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$，
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PED=∠DHF}\\{∠EDP=∠DFH}\\{DP=FD}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△FDH，
（2）∵△DPE≌△FDH，
∴FH=DE=2$\sqrt{3}$，
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2$\sqrt{3}$，
当点P在E点时，作等边三角形DEF₁，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF₁⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF₂，作F₂Q⊥BC于Q，则△DF₂Q≌△ADE，所以DQ=AE=10-2=8，
∴F₁F₂=DQ=8，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质．