Question

已知关于x的函数y=ax²+x+1（a为常数）．
（1）若函数的图象与x轴恰好有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是与x轴恰好有一个交点的抛物线y，有一直线y经过抛物线的顶点和（0，-1），求y₁、y₂的解析式，并求出当x取什么范围时，y₁＞y₂．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，函数为一次函数，与x轴恰好有一个交点；当a≠0时，函数为二次函数，若与x轴有一个交点，则△=0，据此，解出a的值即可；
（2）根据（1）中结果，求出二次函数解析式，从而求出其顶点坐标，然后根据待定系数法求出直线解析式，然后即可求出y₁＞y₂时x的取值范围．

解答：解：（1）当a=0时，函数为一次函数，与x轴恰好有一个交点；
当a≠0时，图象与x轴恰好有一个交点，则△=0，
即1-4a=0，解得a=

1

4

；
故a=0或者a=

1

4

．

（2）根据（1）中a的值，二次函数解析式为y₁=

1

4

x²+x+1；
配方得，y=

1

4

（x+2）²，
其顶点坐标为（-2，0）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
将（0，-1）和（-2，0）分别代入解析式得，

b=-1 -2k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=-1

，故函数解析式为y₂=-

1

2

x-1．

（3）将两函数组成方程组得，

1 4 x2+x+1=y - 1 2 x-1=y

，
解得

x=-4 y=1

，

x=-2 y=0

，
可见x小于-4或x大于-2时，y₁＞y₂．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉根的判别式及待定系数法以及函数与方程的关系是解答此题的关键．