Question

如图，以线段BC为一边在BC的同侧作Rt△BCD、Rt△BCE，过D作线段DA∥BC，交BE延长线于A，设BD、CE交于点F，取BC的中点G，连接EG、AF，且∠DCB=45°，CD=2．
（1）求EG的长．
（2）CF、AB、AF之间有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2

2

，根据CE⊥BE，点G为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EG；
（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到CD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案．

解答：解：（1）∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，
∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC=

BD2+CD2

=2

2

．
∵Rt△BCE中，∠BEC=90°，
∵点G为BC的中点，
∴EG=

1

2

BC=

2

．
故EG的长是

2

；

（2）CF=AB+AF．理由如下：
在线段CF上截取CH=BA，连接DH．
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADF=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，
∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45°，
∴∠ADF=∠HDF，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．

点评：本题主要考查全等三角形的性质和判定，梯形、平行线、直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．