[题目]如图.已知二次函数图象的顶点坐标为(2.0).直线y = x+1与二次函数的图象交于A.B两点.其中点A在y轴上．(1)二次函数的解析式为y = ,(2)证明点(-m.2m-1)不在(1)中所求的二次函数图象上,(3)若C为线段AB的中点.过点C做CE⊥x轴于点E.CE与二次函数的图象交于D．①y轴上存在点K.使K.A.D.C为顶点的四边形是平行四边形.则� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y = x+1与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上．

（1）二次函数的解析式为y = ；

（2）证明点（－m，2m－1）不在（1）中所求的二次函数图象上；

（3）若C为线段AB的中点，过点C做CE⊥x轴于点E，CE与二次函数的图象交于D．

①y轴上存在点K，使K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点K的坐标是．

②二次函数的图象上是否存在点P，使得三角形 S△ POE＝2S△ABD？若存在，求出P坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2－x＋1；（2）证明见解析；（3）①K（0，5）或（0，－3），②存在点P（－6，16）和P（10，16），使得S△POE ＝2S△ABD．

【解析】

（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．

（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，根据根的判别式进行判定．

（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，

①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则KA=DC，且BA∥DK，进而求出K点的坐标．

②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S△ POE＝2S△ABD，设P（x，x2-x+1），由题意可以解出x．

解：（1）y＝x2－x＋1（y＝（x－2）2）；

（2）证明：设点（―m，2m―1）在二次函数y＝x2－x＋1的图象上

则有：2m―1＝m2＋m＋1 ，

整理得m2―4m＋8＝0 ．

∵△＝（－4）2－4×8＝－16＜0 ，

∴原方程无实根，

∴点（―m，2m―1）不在二次函数y＝x2－x＋1的图象上．

（3）①K（0，5）或（0，－3）

②二次函数的图象上存在点P，使得S△POE＝2S△ABD

如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，

∴OE＝EF，由y＝x2－x＋1和y＝x＋1可求得点B（8，9）．

∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），∴AD∥x轴．

∴S△ABD ＝2S△ACD ＝2××4×4＝16 ．

设P（x，x2－x＋1），由题意有：

S△POE ＝×4（x2－x＋1）＝x2－2x＋2 ．

∵S△POE＝2S△ABD，∴x2－2x＋2＝32，

解得x＝－6或x＝10 ．

当x＝－6时，y＝×（－6）2－（－6）＋1＝16．

当x＝10时，y＝×102－10＋1＝16．

∴存在点P（－6，16）和P（10，16），使得S△POE ＝2S△ABD．

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