Question

【题目】如图，五边形是边长为的正五边形，是正五边形的外接圆，过点作的切线，与、的延长线交分别于点和，延长、相交于点，那么的长度是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先证明AG=AF，由SSS得到△OHD与△OED全等，得出∠ODH=∠ODE=54°，证出∠B=∠C=72°，设GB=xcm，由△DHB∽△GBD，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，求出x的值，即可得出结果．

：∵五边形DEFGH是正五边形，
∴∠HDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHD=108°，
∴∠BHD=∠CED=∠AGF=∠AFG=72°，
∴AG=AF，
∴△AGF是等腰三角形；
连接DG，如图所示：

∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∴∠BFO=∠CFO=90°，
在△OHD与△OED中，，
∴△OHD≌△OED（SSS），
∴∠ODH=∠ODE=54°，
∴∠HDB=∠EDC=36°，
∴∠B=∠C=72°，
∴BD=DH=DE=DC=GF，
∴GF=BC，
∵∠B=∠AGF=72°，
∴FG∥BC，
∴四边形FGDC是平行四边形，
∴GD∥CA，
∵BD=CD，
∴AG=GB，
∴点G是线段AB的中点；
∵五边形DEFGH是正五边形，
∴BD=DH=GH=2，
设GB=x，
∵∠BDH=∠BGD，∠B=∠B，
∴△DHB∽△GBD，
∴，即，
整理得：x2-2x-4=0，
解得：x=1±（负值舍去），
∴AG=GB=1+，
∴AB=2+2；
故答案为：2+2．