Question

【题目】如图，已知二次函数的图象经过、、三点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若点M是该二次函数图象上的一点，且满足，求点M的坐标；

（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若、的面积分别为、，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）或（－5，－18）

（3）

【解析】

（1）已知三点坐标，代入二次函数解析式，得三元一次方程组，可求得二次函数解析式.

（2）已知二次函数解析式，可求得B点坐标为（4，0）当点M在x轴上方时，过C作CM∥AB交抛物线于点M，四边形ABMC为等腰梯形，可求得满足条件的M点坐标.如果M点在x轴下方，先求出直线AC和直线BM的解析式，直线BM的解析式和抛物线的交点即为M点，联立方程求解.

（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S2-S1的最小值．

（1）已知二次函数的图象经过、、三点

则

得

二次函数解析式为：

（２）当点M在x轴上方时，过C作CM∥AB交抛物线于点M，如图1

∵A、B关于对称轴对称，CM关于对称轴对称
∴四边形ABMC为等腰梯形

∴∠CAO=∠MBA，即点M满足条件

∴M(3，2)

当点M在x轴下方时

∵∠MBA=∠CAO

∴BM∥AC
∵C(0，2)，

∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A(1，0)代入可求得k=2，

∴直线AC解析式为y=2x+2，

∴可设直线BM解析式为y=2x+m，把B(4，0)代入可求得m=8，

∴直线BM解析式为y=2x8，

联立直线BM和抛物线解析式可得解得或

∴M(5，18)
综上可知满足条件的点M的坐标为(3，2)或(5，18)；

（3）

过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，

设

由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=x+2

∴H(t，t+2)

∴PH=yPyH=(t+2)=

设直线AP的解析式为y=px+q

∴

解得

∴直线AP的解析式为，令x=0可得

∴F(0，)，

∴CF=2（）=

联立直线AP和直线BC解析式可得

解得x=，即E点的横坐标为

当时，S2-S1的最小值为-