Question

（2012•嘉定区二模）已知⊙O₁、⊙O₂外切于点T，经过点T的任一直线分别与⊙O₁、⊙O₂交于点A、B，
（1）若⊙O₁、⊙O₂是等圆（如图1），求证：AT=BT；
（2）若⊙O₁、⊙O₂的半径分别为R、r（如图2），试写出线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

分析：（1）连接O₁O₂，如图1所示，根据两圆外切时，两圆心连线过切点，得到O₁O₂过T点，由垂直得到一对直角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△O₁CT与△O₂DT，由相似得比例，又两圆为等圆，半径相等可得出，可得出CT=DT，又O₁C⊥AT，利用垂径定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代换可得出AT=BT，得证；
（2）线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系是

AT

BT

=

R

r

，理由为：连接O₁O₂，如图2所示，根据两圆外切时，两圆心连线过切点，得到O₁O₂过T点，由垂直得到一对直角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△O₁CT与△O₂DT，由相似得比例，将O₁T=R，O₂T=r代入，得到CT与DT的比值为R：r，又O₁C⊥AT，利用垂径定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代换可得出AT与BT的比值为R：r．

解答：证明：（1）连接O₁O₂，如图1所示，
∵⊙O₁、⊙O₂外切于点T，
∴点T在O₁O₂上，
过O₁、O₂分别作O₁C⊥AT、O₂D⊥BT，垂足为C、D，
∴∠O₁CT=∠O₂DT=90°，又∠O₁TC=∠O₂TD，
∴△O₁CT∽△O₂DT，
∴

CT

DT

=

O1T

O2T

，
∵⊙O₁、⊙O₂是等圆，
∴O₁T=O₂T，
∴

CT

DT

=

O1T

O2T

=1，
∴CT=DT，
在⊙O₁中，∵O₁C⊥AB，
∴AC=CT=

1

2

AT，
同理BD=DT=

1

2

BT，
∴

1

2

AT=

1

2

BT，即AT=BT；

（2）线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系是

AT

BT

=

R

r

，理由为：
证明：（1）连接O₁O₂，如图2所示，
∵⊙O₁、⊙O₂外切于点T，
∴点T在O₁O₂上，
过O₁、O₂分别作O₁C⊥AT、O₂D⊥BT，垂足为C、D，
∴∠O₁CT=∠O₂DT=90°，又∠O₁TC=∠O₂TD，
∴△O₁CT∽△O₂DT，
∴

CT

DT

=

O1T

O2T

，
∵O₁T=R，O₂T=r，
∴

CT

DT

=

O1T

O2T

=

R

r

，
在⊙O₁中，∵O₁C⊥AB，
∴AC=CT=

1

2

AT，
同理BD=DT=

1

2

BT，
∴

AT

BT

=

1 2 AT

1 2 BT

=

CT

DT

=

R

r

．

点评：此题属于圆的综合性题，涉及的知识有：两圆相切的性质，相似三角形的判定与性质，以及垂径定理，利用了等量代换的思想，在探讨此类题型时注意各问之间的联系与区别．