Question

如图，已知△ABC中，AB＝BC＝1，ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时钟方向旋转．

(1)在图1中，DE交AB于点M，DF交BC于点N．

①证明：DM＝DN

②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积．

(2)在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的周长是否发生变化？若发生变化，求出最大值或最小值是多少？若不发生变化，求出其周长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①证明：连结DB．在Rt△ABC中，AB＝BC，AD＝CD． 　　∴DB＝DC＝AD，∠BDC＝90°． 　　∴∠A＝∠DBN＝45°． 　　∵∠ADM＋∠MDB＝∠BDN＋∠MDB＝90°， 　　∴∠ADM＝∠BDN． 　　∴△ADM≌△BDN． 　　∴DM＝DN(方法不唯一) 　　②四边形DMBN的面积不发生变化． 　　由①，知△BMD≌△CND．∴S△BMD＝S△CND 　　∴S四边形DMBN＝S△DBN＋S△DMB＝S△DBN＋S△DNC＝S△DBC＝S△ABC＝(方法不唯一) 　　(2)四边形DMBN的周长发生变化． 　　由①的三角形全等的证明，可知AM＝BN，BM＝CN．故可设BM＝x，BN＝1－x，由勾股定理得 　　，则有DM＝DN＝MN． 　　四边形DMBN的周长为BM＋BN＋DM＋DN＝x＋(1－x)＋＝1＋＝1＋ 　　∵0＜x＜1，∴当时，四边形DMBN的周长有最小值为2，没有最大值．