Question

4．如图，在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为A（4，0）、B（0，2），将△ABO绕点P（2，2）顺时针旋转得到△OCD，点A、B和O的对应点分别为点O、C和D
（1）画出△OCD，并写出点C和点D的坐标
（2）连接AC，在直线AC的右侧取点M，使∠AMC=45°
①若点M在x轴上，则点M的坐标为（6，0）．
②若△ACM为直角三角形，求点M的坐标
（3）若点N满足∠ANC＞45°，请确定点N的位置（不要求说明理由）

Answer 1

分析 （1）先确定出OA，OB，再由旋转的性质得出OD=4，CD=2，即可得出结论；
（2）先构造出满足条件的点M的位置，利用等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）同（2）①的方法得出结论．

解答 解：
（1）如图1，

∵点A和点B的坐标分别为A（4，0）、B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
由旋转知，△POD≌△PAO，△PCD≌△PBO，
∴OD=OA=4，CD=OB=2，
∴C（2，4），D（0，4）；
（2）①如图2，

∵A（4，0），C（2，4），
∴AC=2$\sqrt{5}$，
以AC为斜边在直线AC右侧作等腰直角三角形ACO'，以O'为圆心，O'A为半径作圆，
∴∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AO'C=45°，
过点O'作O'G⊥AC，
∵A（4，0），C（2，4），
∴G（3，2），
∴直线AC的解析式为y=-2x+8，
∴直线O'G的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
设点O'的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∴O'G²=（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$-2）²=（$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{5}$）²，
∴m=5或m=1（点O'在直线AC右侧，所以舍去），
∴O'（5，3），
∴O'A=$\sqrt{10}$，
在Rt△AO'N中，O'N=3，AN=$\sqrt{O'{A}^{2}-O'{N}^{2}}$=1，
∴AM=2AN=2，
∴M（6，0）；
故答案为（6，0），
②如图3，

当∠CAM为直角时，
分别过点C，M作x轴的垂线，垂足分别为E，F．
∵CO=CA，
∴OE=AE=$\frac{1}{2}$OA=2
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠CAE+∠FAM=90°，
∴∠ACE=∠FAM，
在△ACE和△MAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠MFA}\\{∠ACE=∠MAF}\\{AC=AM}\end{array}\right.$
∴△CEA≌△AFM，
∴MF=AE=2，AF=CE=4．
∴OF=8，
∴M（8，2）；
当∠ACM为直角时，
同理可得M（6，6）；
综上所述，点M的坐标为（8，2）或（6，6）．

（3）如图3，

∵A（4，0），C（2，4），
∴AC=2$\sqrt{5}$，
以AC为斜边在直线AC右侧作等腰直角三角形ACO'，以O'为圆心，O'A为半径作圆，
∴∠ANC＜$\frac{1}{2}$∠AO'C=45°，
过点O'作O'G⊥AC，
∵A（4，0），C（2，4），
∴G（3，2），直线AC的解析式为y=-2x+8，
∴直线O'G的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
设点O'的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∴O'G²=（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$-2）²=（$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{5}$）²，
∴m=5或m=1，
∴O'（5，3）或（1，1），
∵A（4，0），
∴O'A=$\sqrt{10}$，
∴点N在以点（5，3）或点（1，1）为圆心，以$\sqrt{10}$为半径的圆内．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的和等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，解本题的关键是构造出满足条件的图形，是一道比较好的中考常考题．