Question

如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：DF=AD；
（2）过点F作FH⊥AB，垂足为点H，求证：FH+AC=AD；
（3）如图2，将∠ADC绕顶点D旋转一定的角度后，DC边所在的直线与BC边交于点C₁（不与点B重合），DA边所在的直线与BA边的延长线交于点A₁． A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于点F₁，过点F₁作F₁H₁⊥AB，垂足为H₁，试猜想F₁H₁、A₁C₁与AD三者之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正方形的对角线平分每一组对角∠DAC=∠ABD=45°，再根据角平分线的定义∠CAF=∠BAF，所以∠DAF=∠DFA，根据等角对等边的性质，DF=AD；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等FH=FO，又OD=BD=AC，所以FH+AC=DF=AD；
（3）同（1）利用三角形全等证出A₁D=DF₁，根据等腰直角三角形A₁DC₁的直角边与斜边的关系，从而得出A₁C₁=DF₁，又等腰直角三角形F₁H₁B中，F₁H₁=F₁B，两式相加即可得到F₁H₁+A₁C₁=DB，而AD=BD，所以三者存在F₁H₁+A₁C₁=AD．
解答：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠DAC=∠ABD=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF，
而∠DAF=∠DAC+∠FAC，∠DFA=∠ABD+∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD；

（2）证明：∵正方形ABCD，
∴FO⊥AC，AC=OD，
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，
∴FH=FO，
∴FH+AC=FO+OD=DF=AD，
即FH+AC=AD．

（3）猜想：F₁H₁+A₁C₁=AD．
理由：∵AD=CD，∠ADC=∠A₁DC₁，
∴∠A₁DA=∠C₁DC，
∴△A₁AD≌△C₁CD，
∴△A₁C₁D是等腰直角三角形，
∵A₁F₁平分∠BA₁C₁，
∴∠BA₁F₁=∠F₁A₁C₁
而∠DA₁F₁=45°+∠F₁A₁C₁，∠DF₁A₁=45°+∠BA₁F₁，
∴∠DA₁F₁=∠DF₁A₁，
∴A₁D=DF₁，
∴A₁C₁=A₁D=DF₁，
又∵在等腰直角三角形F₁H₁B中，F₁H₁=F₁B，
∴F₁H₁+A₁C₁=F₁B+DF₁=DB=AD．
即F₁H₁+A₁C₁=AD．
点评：本题主要利用角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等角对等边的性质，等腰直角三角形斜边等于直角边的倍的性质，综合性较强．