Question

【题目】在等边△ABC中，以BC为弦的⊙O分别与AB，AC交于点D和E，点F是BC延长线上一点，CF＝AE，连接EF．

（1）如图1，BC为直径，求证：EF是⊙O的切线；

（2）如图2，EF与⊙O交于点G，⊙O的半径为1，BC的长为π，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）只要证明OE⊥EF即可；（2）如图2中，连接OB、OC、OE作CH⊥OB交BO的延长线于H．首先利用弧长公式求出∠BOC，解直角三角形求出BC、EC的长即可解决问题；

解：（1）证明：如图1中，连接BE、OE．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，

∵BC是直径，

∴∠BEC＝90°，

∴BE⊥AC，

∵BA＝BC，

∴AE＝EC＝CF，

∴∠F＝∠CEF，

∵∠BCE＝∠F+∠CEF＝60°，

∴∠CEF＝∠F＝30°，

∵OE＝OC，∠OCE＝60°，

∴△OEC是等边三角形，

∴∠OEC＝60°，

∴∠OEF＝60°+30°＝90°．

∴OE⊥EF．

∴EF是⊙O的切线．

（2）解：如图2中，连接OB、OC、OE作CH⊥OB交BO的延长线于H．

∵的长＝，

∴n＝150°，

∴∠BOC＝150°，∠OBC＝∠OCB＝15°，∠COH＝30°，

在Rt△OCH中，CH＝OC＝，OH＝，

∴BC＝ ，

∵∠ECO＝∠ACB﹣∠OCB＝45°，

∴EC＝，

∴AE＝CF＝ ，

∴BF＝

．