Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，DG∥AB，延长AB到E，使BE=CD，连结DE交BC于F。

（1）求证：DF=EF；
（2）若△ABC的边长为a，BE的长为b，且a、b满足，求BF的长；
（3）若△ABC的边长为5，设CD=x，BF=y，求y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

Answer 1

（1）证明：∵ △ABC是等边三角形
                    ∴∠A=∠B=60°
                  又 ∵ DG∥AB
               ∴∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠B=60°
              且∠GDF=∠E
                ∴△CDG是等边三角形
                 ∴ DG=CD=BE
                 在△DGF和△EBF中 
                
              ∴△DGF≌△EBF（AAS）
             ∴DF=EF
（2）解：由，得（a-5）²+（b-3）²=0 
                ∵（a-5）² ≥ 0 ，（b-3）² ≥ 0
                ∴（a-5）²=0 ，（b-3）²=0
                ∴ a=5，b=3 ，即：BC=5，CG=BE=3
                又∵ △DGF≌△EBF，∴ BF=GF 
                ∴
（3）解：∵ CD=x，BF=y ，BC=5
              又∵
               ∴所求的解析式
              自变量x的取值范围是0＜x＜5。