Question

如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．
（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上一点，是否存在这样的点P，使得点P到直线CD的距离最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A、B、D三点的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）利用直线CD解析式以及PQ的解析式求出S_△PCD=S_△PCQ+S_△PDQ，得出有关x的解析式，进而求出最值．

解答：解：（1）∵直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-2，0）、B（0，4）．
∵△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，
∴C（0，2）、D（4，0），
∴过A、B、D的抛物线解析式为y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵C（0，2）、D（4，0），
∴直线CD解析式为y=-

1

2

x+2，
设P（x，-

1

2

x²+x+4）（0＜x＜4），
作PE⊥x轴于E，交CD于Q，
则E（x，0），Q（x，-

1

2

x+2），
∴PQ=（-

1

2

x²+x+4）-（-

1

2

x+2）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
OE=x，DE=4-x，
∴S_△PCD=S_△PCQ+S_△PDQ=

1

2

PQ•OE+

1

2

PQ•DE=

1

2

PQ•OD，
=

1

2

（-

1

2

x²+

3

2

x+2）×4=-x²+3x+4=-（x-

3

2

）²+

25

4

，
∴当x=

3

2

时，△PCD的面积最大，也即P到CD得距离最大．
∴存在点P，使得点P到直线CD的距离最大，此时P点的坐标为（

3

2

，

35

8

）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，运用待定系数法求二次函数解析式以及在坐标系中求三角形面积是考查重点题型．