Question

【题目】如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证AEFDHF，再证ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④．

∵点F是AD的中点，

∴2FD=AD，

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴FD=AB=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠BCF，

∴∠DCF=∠BCF，即：，

∴①正确；

∵AB∥CD，

∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，

又∵AF=DF，

∴AEFDHF（AAS），

∴EF=HF，

∵，

∴CE⊥CD，即：ECH是直角三角形，

∴=EH，

∴②正确；

∵EF=HF，

∴

∵，CE⊥CD，垂足在线段上，

∴,

∴,

∴，

∴③错误；

设∠AEF=x，则∠H=x，

∵在RtECH中，CF=FH=EF，

∴∠FCH=∠H=x，

∵FD=CD，

∴∠DFC=∠FCH=x，

∵点F，G分别是EH，EC的中点，

∴FG∥CD∥AB，

∴∠AEF=∠EFG=x，

∵EF=CF，

∴∠EFG=∠CFG=x，

∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，

∴．

∴④正确．

故选C．