Question

（2008•怀柔区二模）如图，设P为y=

4

x

在第一象限的图象上的任一点，点P关于y轴的对称点为P′，连接P′P、P′O、OP．
（1）说明△POP′的面积永远为定值4．
（2）当P点移动到P₁（x₁，y₁），点P₁关于y轴的对称点为

P

′ 1

，使△P1P1′O为等边三角形时，求OP₁所在直线的解析式；
（3）当P点移动到P₂（x₂，y₂），点P₂关于y轴的对称点为

P

′ 2

，且y₂=

1

2

y1时，求梯形P₁

P

′ 1

P

′ 2

P₂的面积．

Answer 1

分析：（1）过P点作PH⊥x轴，如图，设P点坐标为（x，y），易得S_△OPH=

1

2

xy=2，根据对称的性质得到S_△P′PO=2S_△OPH=4；
（2）过P₁作P₁A⊥x轴于A，由点P₁关于x轴的对称点为P₁′，△P1P1′O为等边三角形，得OP₁与y轴的夹角为30°，则∠AOP₁=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到P₁A=

3

OA，这样可设P₁的坐标为（x₁，

3

x₁），直线OP₁的解析式为y=kx，然后把P₁的坐标代入可解得k=

3

，从而确定OP₁所在直线的解析式；
（3）过P₁作P₁A⊥x轴于B，交P₂P₂′于C，根据P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）都在y=

4

x

上，且y₂=

1

2

y1，可得到x₁•y₁=4，x₂•y₂=4，x₂=2x₁，则P₁C=y₁-y₂=

1

2

y₁，利用梯形的面积公式得到梯形P₁

P

′ 1

P

′ 2

P₂的面积=

1

2

（P₁P₁′+P₂P₂′）•P₁C=

1

2

（2x₁+2x₂）（y₁-y₂）=

1

2

•6x₁•

1

2

y₁，把x₁•y₁=4代入计算即可．

解答：解：（1）过P点作PH⊥x轴，如图，设P点坐标为（x，y），
∵y=

4

x

，
∴xy=4，
∴S_△OPH=

1

2

xy=2，
∵点P关于x轴的对称点为P′，
∴S_△P′PO=2S_△OPH=4，
即△POP′的面积永远为定值4；

（2）过P₁作P₁A⊥x轴于A，如图，
∵点P₁关于x轴的对称点为P₁′，△P1P1′O为等边三角形，
∴OP₁与y轴的夹角为30°，
∴∠AOP₁=60°，
∴P₁A=

3

OA，
设P₁的坐标为（x₁，

3

x₁），直线OP₁的解析式为y=kx，
把P₁的坐标代入可解得k=

3

，
∴OP₁所在直线的解析式为：y=

3

x；


（3）过P₁作P₁B⊥x轴于B，交P₂P₂′于C，如图，
∵P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）都在y=

4

x

上，且y₂=

1

2

y1，
∴x₁•y₁=4，x₂•y₂=4，x₂=2x₁，
∴P₁C=y₁-y₂=

1

2

y₁，
∴梯形P₁

P

′ 1

P

′ 2

P₂的面积=

1

2

（P₁P₁′+P₂P₂′）•P₁C
=

1

2

（2x₁+2x₂）（y₁-y₂）
=

1

2

•6x₁•

1

2

y₁
=

3

2

•x₁•y₁
=

3

2

×4
=6．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：点在反比例函数图形上，点的坐标满足其解析式；点的坐标与线段之间的关系；对称和等边三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．