Question

4．如图，?ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE．
（1）写出图中所有你认为全等的三角形；
（2）连接AF、CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）有三对全等的三角形，依次写出；
（2）证明△AED≌△CFB，得AE=CF，∠AED=∠CFB，根据等角的补角相等得：∠AEB=∠CFE，所以AE∥CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．

解答 解：（1）①△AED≌△CFB，②△ABE≌△CDF，③△ABD≌△CDB；
理由是：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
在△AED和△CFB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADB=∠DBC}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，
∵△AED≌△CFB（SAS），
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵BF=DE，
∴AC-BF=AC-DE，
∴DF=BE，
在△ABE和△CDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABD=∠BDC}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
③在△ABD和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AD=BC}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDB（SSS）；
（2）四边形AECF是平行四边形，理由是：
由（1）得：△AED≌△CFB，
∴AE=CF，∠AED=∠CFB，
∴∠AEB=∠CFE，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是关键，常运用的判定方法是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．