Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
（1）求⊙O的直径；
（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥BC于E，
BE=AD=13，
∵BC=16，
∴EC=3，
在Rt△DCE中，由于DC=5，
则DE=，
所以圆的直径为4厘米；

（2）当P，Q运动t秒时，由点P，Q的运动速度为1厘米/秒和2厘米/秒，
所以PD=（13-t）厘米，CQ=2t厘米，
所以四边形PQCD的面积为y=，
即y=2t+26（0＜t≤8）；
当四边形PQCD为等腰梯形时，CQ-PD=2CE，
所以2t-（13-t）=6，解得t=，
这时y_{四边形PQCD}=厘米²．

（3）存在．若PQ与圆相切，切点G，作PH⊥BC于H，
所以PA=PG=t，QG=QB=16-2t，
又得到QH=QB-HB=（16-2t）-t=16-3t，PQ=BQ+AP=16-t，
根据勾股定理得PQ²=PH²+QH²，
所以（16-t）²=16+（16-3t）²，
解得t₁=4+，t₂=4-，
因为4+和4-都在0＜t≤8内，所以在t=（4+）秒或t=（4-）秒时，直线PQ与圆相切．
分析：（1）过点D作DE⊥BC于E，则四边形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圆的直径．
（2）要求四边形PQCD的面积，只需用t表达出CQ和PD．当四边形PQCD为等腰梯形时，CQ-PD=2CE，即2t-（13-t）=6，即可求出t的值，从而确定四边形的面积．
（3）先假设存在，构造直角三角形，利用勾股定理得出方程，解方程，若方程有解，则存在，若方程无解，则不存在．
点评：本题是一个动点问题，解题时要善于将动点问题转化为静态题．此题是一个大综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．