Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+n（m＜0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴正半轴交于点D，连接AD并延长交x轴于E，连AC、DC．S△DEC：S△AEC=3：4．

（1）求点E的坐标；

（2）△AEC能否为直角三角形？若能，求出此时抛物线的函数表达式；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（﹣3，0）；（2）二次函数解析式为：y=﹣x2+x+．

【解析】试题分析：（1）根据题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质得出EO：OF=3：1，进而得出EO的长即可得出答案；

（2）由题意可知，AE，AC不可能与x轴垂直，再得出△EFA∽△AFC，求出m的值，进而得出答案．

试题解析：解：（1）如图所示：设此抛物线对称轴与x轴交于点F，∴S△DEC：S△AEC=DO：AF=3：4．∵DO∥AF，∴△EDO∽△EAF，∴EO：EF=DO：AF=3：4，∴EO：OF=3：1，由y=mx2﹣2mx+n（m＜0）得：A（1，n﹣m），D（0，n），∴OF=1，∴EO=3，∴E（﹣3，0）；

（2）∵DO：AF=3：4，∴=，∴n=﹣3m，∴y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x2﹣2x﹣3）

=m（x﹣3）（x+1），∴B（﹣1，0），C（3，0），A（1，﹣4m），由题意可知，AE，AC不可能与x轴垂直，∴若△AEC为直角三角形，则∠EAC=90°．又∵AF⊥EC，可得：△EFA∽△AFC，∴=，即=．∵m＜0，∴m=﹣，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+x+．