Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，点D时抛物线的顶点

（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；

（2）试探究：在抛物线上是否存在点P，使得以点为顶点，为直角边的三角形是直角三角形，若存在，请求出，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；直线AC的方程为；（2）存在，点P的坐标为或．

【解析】

（1）根据抛物线与的交点坐标，设抛物线的解析式为，化简得，与原题的解析式对比，易得，解出a的值，代入所设解析式即可得抛物线解析式；

根据抛物线与轴交于点C，可求得，设直线AC的解析式为，把A、C的坐标代入可求出，从而即可求得直线AC的解析式；

（2）分两种情况求解：①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，则直线PC的解析式为，再联立，可求得交点P的坐标为；

②过点A作AC的垂线交抛物线于点P，则可得所以直线PC的解析式为，联立，可求得点P的坐标为．

解：（1）设抛物线的解析式为，

，

∵，

，

∴，

所以抛物线的解析式为；

当时， ，

∴；

设直线AC的解析式为，

把代入， ，

所以，

所以直线AC的方程为；

(2)存在；理由如下：

①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，

∵直线AC的方程为，

∴直线PC的解析式为，

解方程组：，

解得：或，

此时点P的坐标为；

②过点A作AC的垂线交抛物线于点P，

直线PC的解析式为，

把代入得，

所以直线PC的解析式为，

解方程组：，

解得：或，

所以点P的坐标为．

综上所述，符合条件的点P的坐标为或．