Question

【题目】如图，已知在矩形纸片中，将纸片折叠，使顶点与边的点重合.若折痕分别与交于点的外接圆与直线有唯一一个公共点，则折痕的为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，继而结合AG=GE，判定四边形AGEF是菱形；连接ON，得出ON是梯形ABCE的中位线，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，继而可得出折痕FG的长度．

由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，

∵DC∥AB，

∴∠EFG=∠AGF，

∴∠EFG=∠EGF，

∴EF=EG=AG，

∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），

又∵AG=GE，

∴四边形AGEF是菱形

令△AED的外接圆与直线有唯一一个公共点为N，连接ON，如图所示，

∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，

∴ON⊥BC，

∵点O是AE的中点，

∴ON是梯形ABCE的中位线，

设CE=x，则ED=2-x，2ON=CE+AB=x+2，

在Rt△AED中，AE=2OE=2ON=x+2，

AD2+DE2=AE2，

∴12+（2-x）2=（2+x）2，

得x=，

，

∵△FEO∽△AED，

∴，

解得：FO=，

∴FG=2FO=．

故答案为：.