Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D．给出以下五个结论：
①BD=DC；②CB=2ED；③

AE

=

DE

；④∠A=∠EDC；⑤△ABC∽△DCE．
其中正确结论的序号是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：连接AD，BE，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AD与BC垂直，BE与AE垂直，由AB=AC，利用三线合一得到D为BC的中点，可得出BD=CD，在直角三角形BEC中，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出BC=2ED，而当∠EAD=∠EDA时，

AE

=

DE

，此时△ABC为等边三角形，当△ABC不是等边三角形时，∠EAD≠∠EDA，则

AE

≠

DE

，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得到∠A=∠EDC，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△ABC∽△DCE．

解答：解：连接AD，BE，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴D为BC的中点，即BD=CD，
故选项①正确；
在Rt△BEC中，D为斜边BC的中点，
∴BC=2ED，故选项②正确；
当∠EAD=∠EDA时，

AE

=

DE

，此时△ABC为等边三角形，
当△ABC不是等边三角形时，∠EAD≠∠EDA，则

AE

≠

DE

，
故选项③错误；
∵∠EDC为圆内接四边形ABDE的外角，
∴∠EDC=∠BAC，故选项④正确；
∵∠EDC=∠BAC，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，故选项⑤正确，
综上，正确选项为①②④⑤．
故答案为：①②④⑤

点评：此题考查了圆周角定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．