Question

（2011•蜀山区二模）如图1所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，BE交AC于F，点P是AC上任意一点，连接PD、PE．
（1）如图2，P₁P₂是AC上的两点，观察并比较P₁D+P₁E与P₂D+P₂E的大小（只须说明结论，不必说明理由）；
（2）若P₃是AC上另外一点，且P₃D+P₃E比P₁D+P₁E与P₂D+P₂E都小，你能确定P₃的大致位置吗？
（3）在对角线AC上是否存在点P，使PD+PE的和最小？若不存在，请说明理由；若存在，请说出这个最小值，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据点B、D关于对角线AC对称，可得出P₁D+P₁E大于P₂D+P₂E的长；
（2）根据题意可得出在AC上到D、E两点距离最小的点连接BE与AC的交点，离交点越远到D、E两点的距离越大，则得出P₃的大体位置是F处；
（3）连接BE，交AC于点P，则PD+PE的和最小．根据三角形的三边关系定理可得出结论．

解答：解：（1）由对称的性质得，P₁D+P₁E＞P₂D+P₂E；

（2）∵P₃是AC上另外一点，且P₃D+P₃E比P₁D+P₁E与P₂D+P₂E都小，
∴P₃是点F；

（3）连接BE，交AC于点P，连接DP．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2

3

．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2

3

．
故所求最小值为2

3

．
理由是：
在AC上任取一点Q，连接QD，QB，QE，
∵点B与D关于AC对称，
∴QD=QB，
∴QD+QE=QB+QE＞BE（三角形的任意两边之和大于第三边）．
∴PD+PE的和最小，最小值为2

3

．

点评：本题考查的知识点是轴对称-最短路径问题及正方形的性质、等边三角形的性质，此题的难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．