Question

【题目】二次函数的顶点M是直线和直线y＝x＋m的交点．

(1)若直线y＝x＋m过点D(0，－3)，求M点的坐标及二次函数的解析式；

(2)试证明无论m取任何值，二次函数的图象与直线y＝x＋m总有两个不同的交点；

(3)在(1)的条件下，若二次函数的图象与y轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线上求异于M的点P，使P在△CMA的外接圆上．

Answer 1

【答案】(1) M(2，－1)，；(2)证明见解析；(3)．

【解析】

（1）根据题意求出m，解方程组求出M点坐标，根据二次函数的性质求出p、q，得到二次函数的解析式；

（2）根据一元二次方程根的判别式进行判断；

（3）根据二次函数的性质求出点C的坐标、点A的坐标，根据勾股定理求出CM，根据勾股定理的逆定理判断△CMA是直角三角形，根据三角形的外接圆的性质计算．

(1)把D(0，－3)坐标代入直线中，

得，从而得直线，

由M为直线与直线的交点，

得，

解得，，

∴得M点坐标为M(2，－1)，

∵M为二次函数的顶点，

∴其对称轴为，

由对称轴公式：，

得，

∴；

由，

，

解得，．

∴二次函数的解析式为：；

(2)∵M是直线和的交点，

∴，

解得，，

∴M点坐标为，

∴，

解得，，

由，

得，

，

∴二次函数的图象与直线总有两个不同的交点；

(3)由(1)知，二次函数的解析式为：，

当时，y＝3．

∴点C的坐标为C(0，3)，

令y＝0，即，

解得，

∴点的坐标为A(3，0)，

由勾股定理，得．

∵点的坐标为M(2，－1)，

过点作x轴的垂线，垂足的坐标应为(2，0)，

由勾股定理得，，

过点作y轴的垂线，垂足的坐标应为(0，－1)，

由勾股定理，得．

∵，

∴△CMA是直角三角形，

CM为斜边，．

直线与△CMA的外接圆的一个交点为M，另一个交点为P，

则．即△CPM为Rt△，

设P点的横坐标为x，则P(，)．过点P作x轴垂线，

过点作y轴垂线，两条垂线交于点E，则E(x，－1)．

过P作轴于点F，则F(0，)．

在中，

.

在中，

．

在中，，

得，

化简整理得，

解得．

当时，y＝－1，即为M点的横、纵坐标．

∴P点的横坐标为，纵坐标为，

∴．