Question

【题目】在菱形ABCD中，AC是对角线，CD=CE，连接DE，点M是线段DE的中点.

（1）如图1，连接CM，若AC=16，CD=10，求DE的长

（2）如图2，点F在菱形的外部，DF=DM，且∠CDA=∠FDE，连接FM交AD于点G，FM的延长线交AC于点N，求证：CN=AG.

Answer 1

【答案】（1）2（2）证明见解析

【解析】分析：(1)过D作DP⊥AC交AC于P，由菱形的性质，勾股定理求得DP，EP的长；(2)连接AF，CM，分别用SAS证明△AFD≌△CME，ASA证明△AFG≌△MNC.

详解：(1)如图，

过D作DP⊥AC交AC于P，

∵DC＝AD，DP⊥AC，∴CP＝AC＝8.

又∵DC＝10，∴DP＝6.

∵EC＝DC＝10，∴AE＝6.

∴EP＝2，DE＝.

(2)连接AF，CM.

∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED.

又∵∠CDA＝∠FDE，∴∠FDA＝∠CDE＝∠CED.

在△AFD和△CME中

，

∴△AFD≌△CME.

∴∠FAD＝∠MCE，AF＝CM.

又∵FD＝DM，∴∠DFM＝∠DMF＝∠EMN.

∵∠AFD＝∠EMC，∠AFG＋∠DFM＝∠CMN＋∠EMN

∴∠AFG＝∠CMN

∴在△AFG和△MNC中

，

∴△AFG≌△MNC，∴CN＝AG.