Question

【题目】综合与探究：

如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，抛物线y＝ax2+3x+c经过点C，与y轴交于点E(0，2)，直线AC与x轴交于点H．

(1)求点C的坐标及抛物线的表达式；

(2)如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F(点F在第一象限)．设点G的横坐标为m．

①点G的纵坐标用含m的代数式表示为　 　；

②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结论；

③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等，请直接写出点N的坐标．

Answer 1

【答案】(1)C(6，2)；抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+2；(2)①﹣m+4；②四边形ABCF是正方形，理由见解析；③点N坐标为(，)或(，)或(10，4)．

【解析】

（1）由线段AB旋转90°得BC与CD⊥x轴可证得△BDC≌△AOB，故有BD=OA=4，CD=OB=2，求得点C坐标，进而由点E、C坐标用待定系数法即可求抛物线解析式．

（2）①由点A、C坐标用待定系数法求直线AC解析式，把点G横坐标m代入即得到用m表示点G纵坐标．

②由AB=BC与BG⊥AC可得AG=CG，即点G为AC中点，根据中点坐标公式可求点G坐标，进而求直线BG解析式．联立直线BG与抛物线解析式解方程组即求得点F坐标．过点F作PF⊥y轴于点P，延长DC交PF于点Q，根据勾股定理求得AB=BC=CF=AF=2，判断四边形ABCF是菱形．再由∠ABC=90°即证得菱形ABCF为正方形．

③由直线AC解析式求其与x轴交点H的坐标，用两点间距离公式求CF、CH的长．设点N坐标为（s，t），用s、t的式子表示FN2、NH2．分类讨论：若△FHC≌△FHN，则FN=FC，NH=CH，列得关于s、t的方程组，求解即得到点N坐标；若△FHC≌△HFN，则FN=CH，NH=FC，同理可求得点N坐标．

解：(1)∵OA＝4，OB＝2，

∴A(0，4)，B(2，0)，

∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABO+∠DBC＝∠ABO+∠OAB＝90°，

∴∠DBC＝∠OAB，

∵CD⊥x轴于点D，

∴∠BDC＝∠AOB＝90°，

在△BDC与△AOB中，

，

∴△BDC≌△AOB(AAS)，

∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2，

∴OD＝OB+BD＝6，

∴C(6，2)，

∵抛物线y＝ax2+3x+c经过点C、点E(0，2)，

∴ 解得：，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+2.

(2)①∵A(0，4)，

∴设直线AC解析式为y＝kx+4，

把点C代入得：6k+4＝2，解得：k＝﹣，

∴直线AC：y＝﹣x+4，

∵点G在直线AC上，横坐标为m，

∴yG＝﹣m+4，

故答案为：﹣m+4．

②∵AB＝BC，BG⊥AC，

∴AG＝CG，即G为AC中点，

∴G(3，3)，

设直线BG解析式为y＝gx+b，

∴ ，解得：，

∴直线BG：y＝3x﹣6，

∵直线BG与抛物线交点为F，且点F在第一象限，

∴ 解得： (舍去)，

∴F(4，6)；

判断四边形ABCF是正方形，理由如下：

如图1，过点F作FP⊥y轴于点P，PF延长线与DC延长线交于点Q，

，

∴PF＝4，OP＝DQ＝6，PQ＝OD＝6，

∴AP＝OP﹣OA＝6﹣4＝2，FQ＝PQ﹣PF＝6﹣4＝2，CQ＝DQ﹣CD＝6﹣2＝4，

∴AF＝，FC＝，

∵BC＝AB＝，

∴AB＝BC＝CF＝AF，

∴四边形ABCF是菱形，

∵∠ABC＝90°，

∴菱形ABCF是正方形.

③∵直线AC：y＝﹣x+4与x轴交于点H，

∴﹣x+4＝0，解得：x＝12，

∴H(12，0)，

∴FC2＝(6﹣4)2+(2﹣6)2＝20，CH2＝(12﹣6)2+(0﹣2)2＝40，

设点N坐标为(s，t)，

∴FN2＝(s﹣4)2+(t﹣6)2，NH2＝(s﹣12)2+(t﹣0)2，

如图2，若△FHC≌△FHN，则FN＝FC，NH＝CH，

，

∴ 解得：(即点C)，

∴N，

如图3，4，若△FHC≌△HFN，则FN＝CH，NH＝FC，

∴，解得：，

∴N，

综上所述，以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等时，点N坐标为(，)或．