Question

如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．

（1）当时，求的值；

（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．

Answer 1

（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD

    ∵AB=2  ∴OB=OD=1，OA=OC=

    ∴OP= ………      ……2分

    ②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线

    ∴   ∵DQ=x       ∴BQ=2-x

    ∴

                  …………………………3分                

    （2）能成为梯形，分三种情况：

    当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°

        ∴

        即  ∴x=

此时PB不平行QE，∴x=时，四边形PBEQ为梯形.   …………………………2分

    当PE∥BQ时，P为OC中点

        ∴AP=，即

        ∴

        此时，BQ=2-x=≠PE，∴x=时，

四边形PEQB为梯形.     

    当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO

        ∴    ∴

        ∴x=1（x=0舍去）

        此时，BQ不平行于PE，

∴x=1时，四边形PEQB为梯形.    

    综上所述，当x=或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.……………1分