Question

已知：二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），C（0，k）（k≠1）．若D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k=

-1或3

；若抛物线上存在点P，使得△ABP是直角三角形，则k的取值范围是

k≥3或k≤-1

．

Answer 1

分析：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+k，二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），列出二元一次方程组，用k表示出a和b，再根据△ABD是直角三角形，求出k的值；
当k=3，k=-1时，△ABD是等腰直角三角形，利用k=3或k=-1这个临界条件可以求出使得△ABP是直角三角形，则k的取值范围．

解答：解：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+k，二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），
则

a+b+k=0 ak2+bk+k=0

，
解得a=1，b=-k-1；
二次函数的解析式为y=x²-（k+1）x+k，
当k＞1时，函数的图象如图1，
对称轴DE=

k+1

2

，顶点坐标为（

k+1

2

，

-(k-1)2

4

），
若△ABD是直角三角形，AD=DB，
则AE=DE，

k+1

2

-1=

(k-1)2

4

，
解得k=3，
当k＜0，函数的图象如图2，
同理求出k=-1；
D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k=-1或3；

当k=3，k=-1时，△ABD是等腰直角三角形，
抛物线上存在点P，使得△ABP是直角三角形，则点P只能在x轴的下方，
结合如图1，当k=3时，P点和D点重合，当k＜3时，不存在直角三角形，
即只有当k≥3时，△ABP是直角三角形；
结合如图1，当k=-1时，P点和D点重合，当k＞-1时，不存在直角三角形，
即只有当k≤-1时，△ABP是直角三角形；
综上所述，当k≥3或k≤-1时，抛物线上存在点P，使得△ABP是直角三角形；
故答案为：-1或3；k≥3或k≤-1．

点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是画出图象，结合图象进行解答，此题的难度较大，理解起来有一定的难度．