Question

如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1=∠2时，一次函数y=kx+b经过点P、E，求它的解析式．

Answer 1

（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，
在Rt△AOG和Rt△ADG中，
，
∴△AOG≌△ADG（HL）；

（2）解：PG=OG+BP．
由（1）同理可证△ADP≌△ABP，
则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，
又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，
故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，
∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，
∴DG=OG，DP=BP，
∴PG=DG+DP=OG+BP；

（3）解：∵△AOG≌△ADG，
∴∠AGO=∠AGD，
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，
∴∠1=∠2=30°，
在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，则G点坐标为：（，0），
CG=3-，在Rt△PCG中，
PC===3-3，
则P点坐标为：（3，3-3），
因为，一次函数y=kx+b经过点P、E，
则，
解得，
所以，一次函数的解析式为y=x-3．
分析：（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG；
（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系；
（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据正方形的性质证明三角形全等，根据三角形全等的性质求角、边的关系，利用特殊角解直角三角形，求P、G两点坐标，确定直线解析式．