Question

（2013•浦东新区二模）已知：如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=4，tan∠CAB=

1

2

，点O在边AC上，以点O为圆心的圆过A、B两点，点P为

AB

上一动点．

（1）求⊙O的半径；
（2）联结AP并延长，交边CB延长线于点D，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结BP，当点P是

AB

的中点时，求△ABP的面积与△ABD的面积比＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞S△ABPS△ABD

S△ABP

S△ABD

．

Answer 1

分析：（1）首先求出AC=2BC，再利用勾股定理OB²=OC²+BC²，求出r求出即可；
（2）首先得出Rt△OAH∽Rt△DAC，进而得出y与x之间的函数关系；
（3）首先求出AQ，PQ的长，进而求出△ABP的面积与△ABD的面积比．

解答：解：（1）连结OB，如图（1），
∵∠C=90°，BC=4，tan∠CAB=

1

2

，
∴tan∠CAB=

BC

AC

=

1

2

，
∴AC=2BC=8，
设OA=OB=r，则OC=8-r，
在Rt△OBC中，∵OB²=OC²+BC²，
∴r²=（8-r）²+4²，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5；

（2）作OH⊥AP，如图（1），
∴AH=PH=

1

2

x，
∵∠OAH=∠DAC，
∴Rt△OAH∽Rt△DAC，
∴OH：CD=AH：AC，
即OH：（4+y）=

1

2

x：8，
∴OH=

1

16

x（4+y），
在Rt△AOH中，OH=

OA2-AH2

=

52- 1 4 x2

=

1

2

100-x2

，
∴

1

2

100-x2

=

1

16

x（4+y），
∴y=

8 100-x2

x

-4，
∵AB=

AC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
∴定义域为0＜x＜4

5

；

（3）连结OP交AB于Q，如图（2），
∵点P是

AB

的中点，
∴OQ垂直平分AB，
∴AQ=

1

2

AB=2

5

，
在Rt△OAQ中，OQ=

AO2-AQ2

=

5

，
∴PQ=PO-OQ=5-

5

，
∴S_△PAB=

1

2

AB•PQ=

1

2

×4

5

×（5-

5

）=10

5

-10，
在Rt△APQ中，AP²=PQ²+AQ²=（5-

5

）²+（2

5

）²=50-10

5

，
即x²=50-10

5

，x=

50-10 5

，
∴y=

8 100-(50-10 5 )

50-10 5

-4=8

5 +1 5 -1

-4=8×

5 +1

2

-4=4

5

，
∴

S△ABP

S△ABD

=

1 2 AB•PQ

1 2 BD•AC

=

4 5 •(5- 5 )

4 5 •8

=

5- 5

8

．

点评：本题考查了圆的综合题：垂径定理及其讨论在有关圆的几何计算中常常用到，同时勾股定理以及三角形相似的性质是几何计算常用的定理．