Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC = 4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．

⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形？

⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；

⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．

 

Answer 1

⑴解：过D点作DH⊥AB于H  ，则四边形DHBC为矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6  ∴AH=2，AD=2·

∵AP=x，   ∴PH=x－2，

情况①：当AP=AD时，即x=2·

情况②：当AD=PD时，则AH=PH ∴2=x－2，解得x= 4

情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x²=4²+(x－2)²，解得x=5··

∵2<x<8，∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形···

⑵易证：△DPH∽△PEB 

∴，∴  整理得：y=(x－2)(8－x)=－x²+x－4··

⑶若存在，则此时BE=BC=4，即y=－x²+x－4=4，整理得： x²－10x+32=0

∵△=(－10)²－4×32<0，∴原方程无解， ∴不存在点P，使得PQ经过点C···

当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过点C