Question

已知，直角梯形ABCD中，较短底AB=a，较长底DC=c，垂直于底的腰BC=b，以另一腰AD为直径作⊙O．
（1）如图，若⊙O与BC相切于点E，试判断ax²+bx+c=0根的情况，并证明你的结论；
（2）直接指出⊙O与BC相交，相离时方程ax²+bx+c=0的根的情况．

Answer 1

解：（1）如图1所示：
设CD与⊙O交于点H，连接AH，
∵AD是直径，
∴∠AHD=90，
∴AH∥BC，
∴AB=CH，BC=AH，
∵E是切点，
∴OE⊥BC，
∴AB∥OE∥CD，
∴OE=（AB+CD），
在Rt△AHD中，
AD²=AH²+DH²，
即2OE²=BC²+DH²，
即 （a+c）²-（c-a）²=b²，
化简得：b²=4ac
∴方程的△=b²-4ac=0，所以有两个相等的实数根，

（2）如图2，相交时，结合（1）中所求即可得出：
直径AD＞a+c，b²-4ac＜0，方程无实根．
如图3，相离时，
即可得出：
直径AD＜a+c，b²-4ac＞0，．方程有两个不同的实数根．
分析：（1）连OH，先求半径为梯形中位线，所以AB=a+c，从A向BC作垂线，构造直角三角形，由勾股定理可得AD²=AH²+DH²，进而得出△=b²-4ac=0，即可得出答案；
（2）由（1）可得出⊙O与BC相交，相离时方程ax²+bx+c=0的根的情况．
点评：此题主要考查了根的判别式以及勾股定理和直线与圆的位置等知识，根据已知构造出直角三角形是解题关键．