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    如图，设抛物线C1：y=a（x+1）2-5，C2：y=-a（x-1）2+5，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是-2．
    （1）求a的值及点B的坐标；
    （2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．
    ①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标；
    ②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．
    （1）∵点A（2，4）在抛物线C1上，
    ∴把点A坐标代入y=a（x+1）2-5得a=1，
    ∴抛物线C1的解析式为y=x2+2x-4，
    设B（-2，b），
    ∴b=-4，
    ∴B（-2，-4）；

    （2）①如图
    ∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴，
    ∴点M在DH上，MH=5，
    过点G作GE⊥DH，垂足为E，
    由△DHG是正三角形，可得EG=
    		3
    ，EH=1，
    ∴ME=4，
    设N（x，0），则NH=x-1，
    由△MEG∽△MHN，得
    ME
    MH
    =
    EG
    HN
    ，
    ∴
    4
    5
    =
    		3
    x-1
    ，
    ∴x=
    5
    4
    		3
    +1    ，
    ∴点N的横坐标为
    5
    4
    		3
    +1    ；
    ②当点D移到与点A重合时，如图，
    直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大；
    过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，
    设N（x，0），
    ∵A（2，4），即AH=4，且△AGH为等边三角形，
    ∴∠AHG=60°，HG=AH=4，
    ∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，
    ∴GQ=
    1
    2
    HG=2，HQ=
    		42-22
    =2
    		3
    ，
    ∴OQ=OH+HQ=2+2
    		3
    ，
    ∴G（2+2
    		3
    ，2），
    ∴NQ=x-2-2
    		3
    ，NF=x-1，GQ=2，MF=5，
    ∵△NGQ∽△NMF，
    ∴
    NQ
    NF
    =
    GQ
    MF
    ，
    ∴
    x-2-2
    		3
    x-1
    =
    2
    5
    ，
    ∴x=
    10
    		3
    +8
    3
    ，
    当点D移到与点B重合时，如图：
    直线l与DG交于点D，即点B，
    此时点N的横坐标最小；
    ∵B（-2，-4），
    ∴H（-2，0），D（-2，-4），
    设N（x，0），
    ∵△BHN∽△MFN，
    ∴
    NH
    FN
    =
    BH
    MF
    ，
    ∴
    x+2
    1-x
    =
    4
    5
    ，
    ∴x=-
    2
    3
    ，
    ∴点N横坐标的范围为-
    2
    3
    ≤x≤
    10
    		3
    +8
    3
    且x≠0．
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    已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴都只有一个交点，分别为A、B且AB=2，又关于x的方程x2-（b+2ac）x+m=0（m＜0）的两个实数根互为相反数．
    （1）求ac的值；
    （2）求二次函数的解析式；
    （3）过A点的直线与二次函数图象相交于另一个点C，与y轴的负半轴相交于点D，且使△ABD和△ABC的面积相等，求此直线的解析式并求△ABC的面积．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线y=
    1
    2
    x+4    的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．
    （1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
    （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．
    （1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）
    （2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；
    （3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
    如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
    做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
    （1）观察发现
    再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
    作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为______．
    （2）实践运用
    如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
    （3）拓展迁移
    如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    ①求这条抛物线所对应的函数关系式；
    ②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．
    （1）求y与x的函数表达式；
    （2）求当边长增加多少时，面积增加8cm2．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-l，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
    （1）求抛物线的解析式：
    （2）问抛物线上是否存在一点M，使得S△ABM=2S△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=-x-1交抛物线于另一点E．
    ①求tan∠ABD的值：
    ②若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，圆M与x轴相交于A，B两点，其坐标分别为A（-3，0），B（1，0），直径CD垂直于x轴于N，直线CE切圆M于C，直线FG切圆M于F，交CE于G，已知点G的横坐标为3，
    （1）若抛物线y=-x2-2x+m经过A，B，D三点，求m的值及点D的坐标；
    （2）求直线DF的解析式；
    （3）是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
    （1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
    （2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？

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