练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2010•许昌一模）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
    （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
    （2）点P是线段BC上任意一点，连接MP，作∠MPQ=60°，交MC于点Q，求MQ的最小值；
    （3）在（2）中：
    ①当MQ取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由；
    ②点P在何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数．

    【答案】分析：（1）利用全等三角形的性质求出AB=DC；
    （2）利用相似三角形的性质=，列出方程求出一个关于MQ值的函数求最小值即可．
    解答：（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
    ∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
    ∵M是AD中点，∴AM=MD
    ∵AD∥BC，
    ∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
    ∴△AMB≌△DMC（2分）
    ∴AB=DC
    ∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

    （2）在等边三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
    ∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
    ∴∠BMP=∠QPC
    ∴△BMP∽△CPQ，
    ∴（5分）
    令PC=x，MQ=y，则BP=4-x，QC=4-y
    ∴=
    ∴y=x2-x+4=（x-2）2+3，即MQ的最小值为3（7分）

    （3）①△PQC为直角三角形
    由（2）知，当MQ取最小值时，x=PC=2．
    ∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
    ∴∠CPQ=30°
    ∴∠PQC=90°（9分）
    ②当BP=1时，有BP平行且等于AM，BP平行且等于MD，则四边形ABPM四边形MBPD均为平行四边形．
    当BP=3时，又PC平行且等于AM，PC平行且等于MD，
    则四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形．
    ∴当BP=1或BP=3时，以点P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形，
    此时平行四边形有4个．（11分）
    点评：此题主要考查三角形的全等相似性质以及平行四边形的判定，求函数最小值等知识点．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源：2010年河南省许昌市中考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

    （2010•许昌一模）计算：（-1）2010×（-）-2+（-π）+|1-2sin60°|．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2010年河南省许昌市中考数学一模试卷（解析版） 题型：选择题

    （2010•许昌一模）2009年我国的外汇储备余额是23992亿美元，23992亿美元用科学记数法表示为（ ）
    A．2.3992×109美元
    B．2.3992×1010美元
    C．2.3992×1011美元
    D．2.3992×1012美元

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案