Question

已知：△ABC、△DEF均为等边三角形，连接AF．
（1）如图1，点C与点E重合时，求证：∠AED=∠AFD；
（2）如图2，当BE=EC时，探究FA与DF的数量关系．

Answer 1

分析：（1）由等边三角形的性质就可以得出△BCD≌△ACF就有∠B=∠EAF=60°，就可以得出∠1=∠3，进而∠1+∠AFD=∠3+∠4=60°．得出∠AFD=∠AED；
（2）取AB的中点M，连接ME、MF可以得到△BME为等边三角形，就有∠BEM=60°，ME=BM=AM，就可以得出△BDE≌△MFE，就可以得出∠B=∠EMF=60°，得出∠AMF=60°，得出△EMF≌△AMF而得出结论．

解答：（1）∵△ABC、△DEF均为等边三角形
∴AC=BC，EF=ED，∠AEB=∠FED=60°，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，

AC=BC ∠BCD=∠ACF EF=ED

，
∴△BCD≌△ACF（SAS）
∴∠B=∠CAF=60°，
∴∠CAF=∠CDF．
∵∠CAF=∠CDF．
∵∠CAF+∠AOF+∠AFO=∠CDF+∠4+∠DOC，
∴∠AFD=∠AED；

（2）FA=FD．
理由：取AB的中点M，连接ME、MF
∵E是BC的中点，
∴BM=BE．
∵∠B=60°，
∴△BME为等边三角形
∴∠BEM=60° ME=BM=AM．
∴∠BED=∠MEF．
在△BDE和△MFE中

BE=ME ∠BED=∠MEF DE=FE

，
∴△BDE≌△MFE（SAS）
∴∠B=∠EMF=60°，
∴∠AMF=∠EMF=60°．
在△AMF和△EMF中，

AM=EM ∠AMF=∠EMF MF=MF

，
∴△AMF≌△EMF（SAS），
∴AF=EF．
∴AF=DF．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质证明三角形全等是关键．