Question

如图：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，与两坐标轴交点为点A和点C，与抛物线y=ax²+ax+b交于点B，其中点A（0，2），点B（-3，1），抛物线与y轴交点D（0，-2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将B、D两点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数a、b的值，也就求得了抛物线的解析式；
（2）过B作BE⊥x轴于E，利用三角形全等解答即可；
（3）延长BC到P，使CP=BC，连接AP，利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定与性质解答即可．

解答：解：（1）将（-3，1），（0，-2）代入得：

1=9a-3a+b -2=b

解得

a= 1 2 b=-2

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x2+

1

2

x-2；

（2）过B作BE⊥x轴于E，则E（-3，0），
易证△BEC≌△COA，
∴BE=AO=2，EB=CO=1，
∴C（-1，0）；

（3）延长BC到P，使CP=BC，连接AP，
则△ACP为以AC为直角边的等腰直角三角形
过P作PF⊥x轴于F，易证△BEC≌△PFC，
∴CF=CE=2PF=BE=1，
∴P（1，-1），
将（1，-1）代入抛物线的解析式满足；
若∠CAP=90°，AC=AP，
则四边形ABCP为平行四边形，
过P作PG⊥x轴于G，易证△PGA≌△CEB，
∴PG=2AG=1，
∴P（2，1）在抛物线上，
∴存在P（1，-1），（2，1）满足条件．

点评：此题考查了等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识．