Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．

（1）求证：AC＝AE；

（2）若CF＝BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系：　 　 ．

（3）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB=AF+2EB；（3）．

【解析】

（1）由DE⊥AB，那么∠AED=90°，利用AAS可证△ACD≌△AED，由全等三角形的性质即可得出AC=AE；
（2）由AC=AE，CF=BE，根据AB=AE+EB，AC=AF+CF即可得出结论；
（3）求出△ABC的面积，由△ACD≌△AED，证得DC=DE，然后根据S△ABC=S△ACD+S△ADB即可求得DE．

（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE；

（2）解：∵AB=AE+EB，AC=AE，
∴AB=AC+EB，
∵AC=AF+CF，CF=BE

∴AC=AF+BE，
∴AB=AF+2EB．
故答案为：AB=AF+2EB；

（3）解：）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC== 6，
∴S△ABC=ACBC= 24，
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC=DE，
∵S△ABC=S△ACD+S△ADB，
∴S△ABC=ACCD+ABDE，
又∵AC=8，AB=10，
∴24=×8×CD+×10 ×DE
∴DE=．