Question

如图，直线L与x轴、y轴分别交于A（6，0）、B（0，3）两点，点C（4，0）为x轴上一点，点P在线段AB（包括端点A、B）上运动．
（1）求直线L的解析式；
（2）当点P的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△PAC是哪一类三角形，并说明理由；
（3）是否存在这样的点P，使△POC为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线L的解析式为y=kx+b，
∵直线L过A、B两点，
∴，
∴，
∴y=-x+3；

（2）y=1时，-x+3=1，
∴x=4，
∵P、C的横坐标都为4，
∴PC⊥x轴，
∴△PAC是直角三角形；

（3）①显然，点P运动至点B时，△POC是直角三角形；
②由（2）知，点P的坐标为（4，1）时，△POC是直角三角形；
③假设存在这样的点P（m，n），使∠OPC=90°．
作PH⊥x轴，H为垂足，
∵△POH∽△CPH，
∴PH²=OH•CH，
∵PH=n，OH=m，CH=4-m，
∴n²=m（4-m）---------------------------①
又∵点P在直线L上，
∴n=-m+3---------------------------②
解由①和②组成的方程组，得，
，
∴P（2，2）或P．
综上所述，符合条件的点P共有4个，坐标分别为：（0，3），（4，1），（2，2）和．
分析：（1）把A（6，0）、B（0，3）两点代入直线L的方程，利用待定系数法即可求出函数的解析式；
（2）首先求出P点的坐标，然后根据P、C两点的横坐标相同，得出PC⊥x轴，从而确定△PAC的形状；
（3）判断P是否存在，可以先假设P存在，根据条件就可以求出关于P的条件，看是否满足实际情况．
点评：求函数的解析式的常用方法是待定系数法，并且本题是存在性问题，是中考中常见的问题．